利用劳斯法则和积分法计算转动惯量

利用劳斯法则和积分法计算转动惯量
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转动惯量也被称为第二力矩或“力矩的力矩”。要理解这个术语,首先要学习力矩的定义。

考虑关于一点的力“x”,力矩可以定义为力与作用点与力的作用线之间垂直测量的距离的乘积= P.x

上述力矩称为力的第一力矩。

如果作用线和作用点之间的垂直距离再乘以上面的力矩,那么我们就得到了所谓的转动惯量= P.x2

物体质量(含面积)的转动惯量可以用以下两种方法中的任何一种来计算:

  • 用劳斯法则

  • 用积分法

用劳斯法则计算转动惯量

劳斯法则指出,如果物体的三个轴都是对称的,那么穿过物体重心的任意三个轴的转动惯量可以写成:

I = {A(或M) × S} / 3(对于方形体或矩形薄板),

I = {A(或M) × S} / 4(对于具有圆形或矩形形状的层流),

I = {A(或M) × S} / 5(对于球形物体)。

A =身体的面积

M =物体的质量,

S =两个半轴的平方和,除了计算转动惯量的那一个。

利用积分法计算惯性矩

参考图,我们看到一个平面,它的转动惯量需要计算它的X-X和Y-Y轴。

该区域被划分为许多狭窄的条带,其中一个长度被考虑用于计算。

让,

dA =上述条带的面积

x =条带重心在x - x轴上的距离,

y =条带重心在y - y轴上的距离。

现在,如上一节所讨论的关于Y-Y轴的转动惯量是= dA × x2。

为求整个截面的转动惯量,对上式进行积分,得到:

Iyy = ΣdAx2, Ixx = ΣdAy2, Izz = ΣdAz2

均匀细杆转动惯量的计算

可以考虑两个条件:

均匀细杆绕中轴的转动惯量

绕中心轴的转动惯量,与杆的长度成直角:

从图中可以看到,假设AB杆的中点为O,长度为2l。

设杆的总质量等于M, M是杆的单位长度的质量。

我们在第一节中讨论了转动惯量的表达式,将它应用到距离中点O为x的棒子的一小部分dx上,我们有=质量× x2 = (m.x dx)x2 dx

为了计算整个杆的转动惯量,我们将上面的表达式在整个长度上积分,即从-l到+l,

因此Iyy = mx2dx = m[x3/3] = 2/3ml3,

由于杆的总质量为M,用M代替2ml,得到,

Ixy = Ml2/3

均匀细杆端部的转动惯量

绕杆子末端的转动惯量,与杆子长度成直角。

参考图,我们看到杆AB的长度为2l,单位长度的质量为m。

由上述讨论可知,对于图中距离a为x,绕Y-Y轴的杆的小截面dx,其转动惯量可写成=质量× x2 = mdx × x2 = mx2.dx

与前面的表达式一样,整个杆的转动惯量是通过上式在0和2l上的积分来测量的。

因此Iyy = mx2。Dx = m[x3/3] = m(8l3/3)。

因为,杆的总质量等于M,我们可以把上面的方程写成,

Iyy = 4Ml2/3

惯量的单位

物体转动惯量的单位可以由质量、面积或长度的单位来确定,我们可以从下面了解到:

  • 物体的转动惯量可以用千克来表示。M2,如果它的质量单位是kg,距离单位是m。

  • 如果物体的面积和距离分别以平方米和米为单位,物体面积的转动惯量可以用m4表示。

  • 如果面积单位是平方厘米,距离单位是厘米,转动惯量的单位必须是cm4。

参考文献